Question

【題目】已知二次函數的圖象過點（1，13），且函數 是偶函數.

（1）求的解析式；

（2）已知,，求函數在[，2]上的最大值和最小值；

（3）函數的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數，縱坐標是一個完全平方數？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析：（1）由是偶函數，知函數的對稱軸是，再由二次函數性質可得；

（2）由（1），按的正負分類去絕對值符號，得兩個二次函數，配方得對稱軸，再按對稱軸與區間的關系分類可求得最值；

（3）假設存在，并設點坐標P，其中為正整數，為自然數，則，從而，即 ，注意到43是質數，且，可得，，從而得解.

詳解：（1）因為函數是偶函數，所以二次函數的對稱軸方程為，故.

又因為二次函數的圖象過點（1，13），所以，故.

因此，的解析式為.

（2） 當時，，

當時，，

由此可知=0．

當，；

當，；

當，；

（3）如果函數的圖象上存在符合要求的點，設為P，其中為正整數，為自然數，則，從而，

即.

注意到43是質數，且，，所以有解得

因此，函數的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為（10，121）.