Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x2﹣m，g（x）=3ex﹣6（1﹣m）x﹣3（m∈R，e為自然對數底數）．
（1）試討論函數f（x）的零點的個數；
（2）證明：當m＞0，且x＞0時，總有g（x）＞f'（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的零點即方程x3﹣3x2=m的根，

令h（x）=x3﹣3x2，則h′（x）=3x（x﹣2），

令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，

令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

故h（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，

而h（0）=0，h（2）=﹣4，

故m＞0或m＜﹣4時，函數1個零點，

m=0或m=﹣4時，函數2個零點，

﹣4＜m＜0時，函數3個零點

（2）證明：f′（x）=3x2﹣6x，

設h（x）=g（x）﹣f′（x）=3ex﹣3x2+6mx﹣3，（x＞0），

則h′（x）=3（ex﹣2x+2m），

令m（x）=ex﹣2x+2m，則m′（x）=ex﹣2，

令m′（x）＞0，解得：x＞ln2，

令m′（x）＜0，解得：x＜ln2，

故m（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

故m（x）≥m（ln2）=2（m﹣ln2+1），

由m＞0，解得：m＞ln2﹣1，

故m（ln2）＞0，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，

故x＞0時，h（x）＞h（0）=0，

故m＞0且x＞0時，g（x）＞f'（x）

【解析】（1）問題轉化為方程x3﹣3x2=m的根，令h（x）=x3﹣3x2 ， 根據函數的單調性求出h（x）的極值，通過討論m的范圍判斷函數的零點個數即可；（2）設h（x）=g（x）﹣f′（x）=3ex﹣3x2+6mx﹣3，（x＞0），求出函數的導數，根據函數的單調性求出h（x）＞h（0），從而證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．