Question

定義：若平面點集A中的任一個點（x₀，y₀），總存在正實數r，使得集合{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x²+y²=1；②（x，y）|x+y+2≥0；③（x，y）|x+y＜6；④{(x，y)|0＜x2+(y-

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)2＜1}．其中是開集的是（　　）

• A、①④
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

分析：根據開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原點為圓心，2為半徑的圓，以圓上的點為圓心正實數r為半徑的圓面不可能在該圓上，故不是開集，②在曲線x+y+2=0任意取點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足 {(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開集；③點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到直線的距離為d，取r=d，滿足條件，故是開集；④該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開集．從而得到答案．

解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原點為圓心，1為半徑的圓，
則在該圓上任意取點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足 {(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A
故①不是開集；
②A={（x，y）|x+y+2≥0}，在曲線x+y+2=0任意取點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足 {(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開集；
③A={（x，y）|x+y＜6}平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到直線的距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開集；
④A={(x，y)|0＜x2+(y-

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)2＜1}表示以點（0，

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）為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到
圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開集．
故選D．

點評：此題是個中檔題．本題屬于集合的新定義型問題，考查學生即時掌握信息，解決問題的能力．正確理解好集的定義是解決本題的關鍵．