Question

定義：若平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），總存在正實(shí)數(shù)r，使得集合{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，則稱A為一個(gè)開(kāi)集．給出下列集合：①（x，y）|x²+y²=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}．其中是開(kāi)集的是（　　）

• A、①④
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

分析：根據(jù)開(kāi)集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，以圓上的點(diǎn)為圓心正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓上，故不是開(kāi)集，②是集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到直線的距離為d，取r=d，滿足條件，故是開(kāi)集；③在曲線x+y|=2任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開(kāi)集；④該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開(kāi)集．

解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，
則在該圓上任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A
故①不是開(kāi)集；
②A={（x，y）|x+y-2＞0}平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到直線的距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開(kāi)集；
③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲線x+y|=2任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開(kāi)集；
④A={(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}表示以點(diǎn)（0，

2

）為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到
圓周上的點(diǎn)的最短距離為d，取r=d，則滿足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開(kāi)集．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題是基礎(chǔ)題．考查學(xué)生的閱讀能力和對(duì)新定義的理解，如果一個(gè)集合是開(kāi)集，則該集合表示的區(qū)域應(yīng)該是不含邊界的平面區(qū)域．