Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間是 ；單調(diào)遞增區(qū)間是.極小值是 

（Ⅱ）的最小值為的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）.

當(dāng)時(shí)，              2分

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：

	-	0	+
		極小值

的單調(diào)遞減區(qū)間是 ；單調(diào)遞增區(qū)間是.

極小值是                          6分

（Ⅱ）由，得           8分

又函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù).

則在上恒成立， 所以不等式在上恒成立，

即在上恒成立.                        10分

設(shè)，顯然在上為減函數(shù)，

所以的最小值為的取值范圍是.       12分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值，恒成立問題解法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得到證明不等式。恒成立問題，往往要轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值求法。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。