Question

【題目】已知橢圓： 的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過坐標原點的直線交橢圓： 于、兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結并延長交橢圓于，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連接，由題設條件能夠推導出，在 中， ，由此能求出橢圓的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓，設直線的方程為，并代入得： ，利用根的判別式、中點坐標公式推導出當，或，或時，直線過橢圓的頂點．（Ⅲ）法一：由橢圓的方程為，設，則，直線的方程為，過點且與垂直的直線方程為，由此能夠證明．法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為，設，則，故，由此能夠證明．

試題解析：

解：（Ⅰ）連接為原點， 為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為

因為是的中位線，且，所以

所以，故

在中，

即，又，解得

所求橢圓的方程為．---------6分

(Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據題意可設，則

則直線的方程為…①

過點且與垂直的直線方程為…②

①②并整理得：

又在橢圓上，所以

所以

即①、②兩直線的交點在橢圓上，所以．

法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據題意可設，則， ，

所以直線

，化簡得

所以

因為，所以，則

所以，則，即.