Question

已知正實數(shù)x，y滿足等式，
（1）試將y表示為x的函數(shù)y=f（x），并求出定義域和值域．
（2）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=mf（x）-+1有零點？若存在，求出m的取職范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對數(shù)的運算性質和換底公式進行轉化去掉對數(shù)符號是解決本題的關鍵，進行同底化找x，y之間的關系，然后根據(jù)對數(shù)式有意義的條件列出關于自變量的不等式，求出該函數(shù)的定義域，結合函數(shù)解析式的特征，求出函數(shù)的值域；
（2）利用換元法將方程有解問題轉化為求某個函數(shù)的值域問題，注意分離變量思想的運用．
解答：解：（1）由等式的，則
即y=
由題意知，解得x＞1，∴f（x）=的定義域是（1，+∞）．
令x-1=t，則x=t+1，且t＞0，y=+5，根據(jù)基本不等式得出函數(shù)f（x）的值域是[9，+∞）．
（2）若存在滿足題意的實數(shù)m，則關于x的方程mf（x）-+1=0在區(qū)間（1，+∞）上有實解
令=u，則由（1）知u∈[3，+∞）
問題轉化為關于u的方程mu²-u+1=0在區(qū)間[3，+∞）上有實解，
化為：m=-又，
所以，
即存在滿足題意的實數(shù)m，其取值范圍是．
點評：本題屬于函數(shù)與方程的綜合問題，考查學生對數(shù)運算的能力、函數(shù)定義域的思想、值域的求法、方程有解問題的轉化方法和分離變量的思想，考查學生的轉化與化歸能力．