Question

數列{a_n}滿足a₁=a₂=1．a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：首先構造一個等比數列，設a_n+1+xa_n=y（a_n+xa_n-1），則有a_n+1=（y-x）a_n+xya_n-1，由a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），得a_n+1=a_n+a_n-1，n≥2，從而得到an+1+

5 -1

2

an=

5 +1

2

(an+

5 -1

2

an-1)，由此能求出結果．

解答： 解：首先構造一個等比數列，設a_n+1+xa_n=y（a_n+xa_n-1），
則有a_n+1=（y-x）a_n+xya_n-1，①
∵a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N⁺），∴a_n+1=a_n+a_n-1，n≥2，②
由①②，得

y-x=1 xy=1

，解得

x= 5 -1 2 y= 5 +1 2

或

x= -1- 5 2 y= 1- 5 2

，
取前一解，有an+1+

5 -1

2

an=

5 +1

2

(an+

5 -1

2

an-1)，
設bn=an+1+

5 -1

2

an，則bn=

5 +1

2

bn-1，
∴數列{bn}為等比數列，首項b1=1+

5 -1

2

=

5 +1

2

，公比q=

5 +1

2

，
∴b_n=（

5 +1

2

）ⁿ，即an+1+

5 -1

2

an=(

5 +1

2

)n，③
再次構造等比數列，設an+1+x(

5 +1

2

)n+1=

1- 5

2

[an+x(

5 +1

2

)n]，
則有an+1=

1- 5

2

an+(

5 +1

2

)n(-

5

x)，
對照③式，得-

5

x=1，∴x=-

5

5

，
于是an+1-

5

5

(

5 +1

2

)n+1=

1- 5

2

[an-

5

5

(

5 +1

2

)n]，
設cn=an-

5

5

(

5 +1

2

)n+1，則有數列{c_n}為等比數列，
首項為c1=

5- 5

10

，公比為

1- 5

2

，
∴c_n=

5- 5

10

(

1- 5

2

)n-1=-

5

5

(

1- 5

2

)n，
∴an=

5

5

(

5 +1

2

)n-

5

5

(

1- 5

2

)n．
故答案為：

5

5

(

5 +1

2

)n-

5

5

(

1- 5

2

)n

點評：本題考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．