Question

已知函數f(x)=

2x-1，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，把函數g（x）=f（x）-x的零點按照從大到小的順序排成一個數列{a_n}
，則該數列的通項公式為（　　）

• A、an=n-1(n∈N*)
• B、an=n(n∈N*)
• C、an=n(n-1)(n∈N*)
• D、an=2n-2(n∈N*)

Answer 1

考點：數列的概念及簡單表示法,函數零點的判定定理

專題：等差數列與等比數列

分析：當0＜x≤1時，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，當1＜x≤2時，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，…，以此類推，當n＜x≤n+1（其中n∈N）時，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，結合圖象可得：函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．即可得出：該數列的通項公式a_n=n-1．

解答： 解：當0＜x≤1時，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
當1＜x≤2時，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
當2＜x≤3時，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
當3＜x≤4時，有2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此類推，當n＜x≤n+1（其中n∈N）時，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函數f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點為：（0，1）和（1，2），
由于指數函數f（x）=2^x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．
然后①將函數f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位，即得到函數f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點（0，0）．
即當x≤0時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=0．
②取①中函數f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（1，1）．
即當0＜x≤1時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=1．
③取②中函數f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（2，2）．
即當1＜x≤2時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=2．
④以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為：
0，1，2，3，4，…，
∴該數列的通項公式a_n=n-1．
故選：A．

點評：本題考查了數列的通項公式的求法、函數的交點與零點，考查了數形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．