Question

【題目】在平面直角坐標系中，一個動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點作直線交曲線于，兩點，問曲線上是否存在一個定點，使得點在以為直徑的圓上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點

【解析】

（1）根據拋物線定義，即可求得軌跡方程；

（2）設出直線方程，聯立拋物線方程，由韋達定理，結合，即可恒成立問題，即可求得點坐標.

（1）由題意，圓心到點的距離與到直線的距離相等，

根據拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程是.

（2）因為過點的直線交曲線于，兩點，

所以可設直線方程為，，，

由整理得，

，，，

假設存在定點滿足題意，顯然且，

則，即.

因為，，

所以，

即，

因為且，所以，

即，

所以，即，

上式要恒成立，所以，即定點.

綜上所述，存在定點滿足題意.