Question

（2007•深圳二模）設二項式(

x

+

3

x

)n展開式各項的系數和為 P，二項式系數之和為S，P+S=72，則正整數n=

3

，展開式中常數項的值為

3

．

Answer 1

分析：給二項式中的x賦值1求出展開式的各項系數的和P；利用二項式系數和公式求出S，代入已知的等式，解方程求出n的值．利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為0，求出展開式的常數項．

解答：解：令二項式中的x為1得到各項系數之和P=4ⁿ
又各項二項式系數之和S=2ⁿ
∵P+S=72
∴4ⁿ+2ⁿ=72
解得n=3
所以二項式(

x

+

3

x

)n=(

x

+

3

x

)3
其展開式的通項為Tk+1=3k

C

k 3

x

3-3k

2

令

3-3k

2

=0得k=1
所以展開式中常數項的值為3
故答案為：3；3

點評：本題考查解決展開式的各項系數和問題常用的方法是賦值法、考查二項式系數的性質：二項式系數和為2ⁿ．