Question

【題目】已知函數f（x）= （t+1）lnx，，其中t∈R．

（1）若t=1，求證：當x＞1時，f（x）＞0成立；

（2）若t＞ ，判斷函數g（x）=x[f（x）+t+1]的零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1

【解析】試題分析：（1）當時，對求導， 得增區間， 得減區間，進而求出函數的最小值值，即可證明；（2）若t＞ ，求得函數g（x）=x[f（x）+t+1]的導函數，研究其單調性，根據零點定理再利用導數即可判定零點的個數.

試題解析：解：（1）t=1時，f（x）=x﹣﹣2lnx，x＞0

∴f′（x）=1+﹣==≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

∴f（x）＞f（1）=1﹣1﹣0=0，

∴x＞1，f（x）＞0成立，

（2）當x∈（0，+∞），g（x）=tx2﹣（t+1）xlnx+（t+1）x﹣1

∴g′（x）=2tx﹣（t+1）lnx，

設m（x）=2tx﹣（t+1）lnx， ∴m′（x）=2t﹣=，

令m′（x）=0，得x=，

當0＜x＜時，m'（x）＜0；當時x＞，m'（x）＞0．

∴g'（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增．

∴g'（x）的最小值為g′（）=（t+1）（1﹣ln），

∵t＞，∴ =+＜+＜e．

∴g'（x）的最小值g′（）=（t+1）（1﹣ln）＞0，

從而，g（x）在區間（0，+∞）上單調遞增．

又g（1）=2t＞0，又g（）=+（6+2lnt）﹣1，

設h（t）=e3t﹣（2lnt+6）．

則h′（t）=e3﹣．

令h'（t）=0得t=．由h'（t）＜0，得0＜t＜；

由h'（t）＞0，得t＞．

∴h（t）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增．

∴h（t）min=h（）=2﹣2ln2＞0．

∴h（t）＞0恒成立．∴e3t＞2lnt+6，．

∴g（）＜+﹣1=++﹣1＜++﹣1＜0．

∴當t＞時，函數g（x）恰有1個零點