Question

【題目】已知函數f(x)＝x2－aln x(a>0)的最小值是1.

(1)求a；

(2)若關于x的方程f2(x)ex－6mf(x)＋9me－x＝0在區間[1，＋∞)有唯一的實根，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)a＝2.(2) .

【解析】試題分析：

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出的最小值，問題轉化為，記，根據函數的單調性求出的值即可；

（2）由條件可得，令，原問題等價于方程在區間內有唯一解，通過討論的符號，求出的范圍即可.

試題解析：

(1)f′(x)＝2x－＝(x>0).

所以，當0<x<時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x>時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增.

故f(x)min＝f＝－ln，

由題意可得：－ln＝1，即－ln－1＝0，

記g(a)＝－ln－1(a>0)，

則函數g(a)的零點即為方程－ln＝1的根；

由于g′(a)＝－ln，故a＝2時，g′(2)＝0，

且0<a<2時，g′(a)>0；a>2時，g′(a)<0，

所以a＝2是函數g(a)的唯一極大值點，

所以g(a)≤g(2)，又g(2)＝0，所以a＝2.

(2)由條件可得f2(x)e2x－6mf(x)ex＋9m＝0，

令g(x)＝f(x)ex＝(x2－2ln x)ex，

則g′(x)＝ex，

令r(x)＝x2＋2x－－2ln x(x≥1)，

則r′(x)＝2x＋2＋－>2x－＝≥0，

r(x)在區間[1，＋∞)內單調遞增，

∴g(x)≥g(1)＝e；

所以原問題等價于方程t2－6mt＋9m＝0在區間[e，＋∞)內有唯一解，

當Δ＝0時可得m＝0或m＝1，經檢驗m＝1滿足條件.

當Δ>0時可得m<0或m>1，

所以e2－6me＋9m≤0，解之得m≥，

綜上，m的取值范圍是.