Question

【題目】函數其圖像與軸交于兩點，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：；（為的導函數；）

（3）設點C在函數圖像上，且△ABC為等腰直角三角形，記求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）,當時，函數單調遞增，不符合題意；當時，要函數圖像與軸有兩個交點，則需要極小值小于零且區間端點函數值大于零，由此可求得；（2）先將兩點的坐標代入函數中，求出的值，然后求出的表達式，利用導數證明這個表達式是單調遞減的，由此可證明；（3）根據已知條件有，利用等腰三角形求出的坐標，代入函數解析式，化簡后求得.

試題解析：

（1）， ，

若，則，則函數是單調增函數，這與題設矛盾．

，令，則，當時，，單調減，

當時，，是單調增函數，于是當時，取得極小值，

函數的圖象與軸交于兩點，

，即，此時，存在，，存在， =a3﹣3alna+a，又由在及上的單調性及曲線在上不間斷，可知為所求取值范圍．

（2），兩式相減得．記（），

則，

設則，是單調減函數，

則有，而，．

又是單調增函數，且 ．

（3）依題意有，則,．

于是，在等腰三角形，顯然，，即，由直角三角形斜邊的中線性質，可知，，即，

，

即

，則，又，

，即，．