Question

已知函數y=lg(-x)，求其定義域，并判斷其奇偶性、單調性.

Answer 1

由題意-x＞0，解得x∈R，即定義域為R.

又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）^-1=-lg（-x）=-f（x）,∴y=lg（-x）是奇函數.任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

則＜+x₁＜+x₂>，

即有-x₁＞-x₂＞0，

∴lg（-x₁）＞lg（-x₂），即f（x₁）＞f（x₂）成立.

∴f（x）在（0，+∞）上為減函數.

又f（x）是定義在R上的奇函數，故f（x）在（-∞，0）上也為減函數.

解析:

  注意到+x=，即有lg（-x）=-lg（+x），從而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其為奇函數.又因為奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，所以我們只需研究（0，+∞）上的單調性.