【題目】已知
，
，其中常數
．
（1）當
時，求函數
的極值；
（2）若函數
有兩個零點
，求實數
的范圍；
（3）設
，在區間
內是否存在區間
，使函數
在區間
的值域也是？請給出結論，并說明理由.
【答案】（1）極小值0，沒有極大值；（2）
；（3）不存在區間
符合要求，理由見解析.
【解析】
（1）求出導函數，利用導數研究函數的單調性，求出極值；
（2）求出導函數，利用導數研究函數的單調性，極值，得到有兩個零點的條件，求出
的范圍；
（3）先根據導數判斷
在
單調遞增，將在區間的值域也是，轉化為
有兩個大于
的不等實根解決問題.
函數
的定義域為
，
（1）當
時，
，
，
而在上單調遞增，又
，
當
時，
，則在
上單調遞減；
當
時，
，則在上單調遞增，所以有極小值
，沒有極大值．
（2）令
， 
，因為
，所以
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| 增 | 減 |
因為
有兩個零點，所以
，所以
當時因為
，
，所以有兩個零點.
(3)
，假設在區間內是存在區間
，使函數在區間的值域也是，因為
，當時
所以在上是增函數，所以
，即
即方程
有兩個大于的不等實根.上述方程等價于
設
，所以
所以
在上是增函數，所以
上至多一個實數根.
即上不可能有兩個不等實數根，所以假設不成立，所以不存在區間符合要求.
優加精卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且其離心率為
，過坐標原點
作兩條互相垂直的射線與橢圓
分別相交于
，
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線
總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】動點
到點
的距離與到直線
的距離的比值為
．
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點
的直線
與點的軌跡交于兩點
，
，設點，到直線
的距離分別為
，
，當
時，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在測試中，客觀題難題的計算公式為
，其中
為第
題的難度， 
為答對該題的人數， 
為參加測試的總人數.現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：
測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：
（1）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；
（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；
（3）定義統計量
，其中
為第
題的實測難度， 
為第
題的預估難度（
）.規定：若
，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為廣泛開展垃圾分類的宣傳教育和倡導工作，使市民樹立垃圾分類的環保意識，學會垃圾分類的知識，特舉辦了“垃圾分類知識競賽".據統計，在為期1個月的活動中，共有兩萬人次參與網絡答題.市文明實踐中心隨機抽取100名參與該活動的市民，以他們單次答題得分作為樣本進行分析，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）求圖中a的值及參與該活動的市民單次挑戰得分的平均成績
(同一組中數據用該組區間中點值作代表)；
（2）若垃圾分類答題挑戰賽得分落在區間
之外，則可獲得一等獎獎勵，其中，s分別為樣本平均數和樣本標準差，計算可得
，若某人的答題得分為96分，試判斷此人是否獲得一等獎；
（3）為擴大本次“垃圾分類知識競賽”活動的影響力，市文明實踐中心再次組織市民組隊參場有獎知識競賽，競賽共分五輪進行，已知“光速隊”與“超能隊”五輪的成績如下表：
成績 | 第一輪 | 第二輪 | 第三輪 | 第四輪 | 第五輪 |
“光速隊” | 93 | 98 | 94 | 95 | 90 |
“超能隊” | 93 | 96 | 97 | 94 | 90 |
①分別求“光速隊”與“超能隊”五輪成績的平均數和方差；
②以上述數據為依據，你認為"光速隊”與“超能隊”的現場有獎知識競賽成績誰更穩定？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
：
的離心率為
，橢圓上一點
到左右兩個焦點
、
的距離之和是4.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知過的直線與橢圓交于
、
兩點，且兩點與左右頂點不重合，若
，求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知x與y之間的幾組數據如表：
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | m | n | 4 |
如表數據中y的平均值為2.5，若某同學對m賦了三個值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回歸直線方程分別為
，
，
，對應的相關系數分別為
，
，
，下列結論中錯誤的是（ ）
參考公式：線性回歸方程
中，其中
，
．相關系數
．
A.三條回歸直線有共同交點B.相關系數中，最大
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小區為了調查本小區業主對物業服務滿意度的真實情況，對本小區業主進行了調查，調查中問了兩個問題1：你的手機尾號是不是奇數？問題2：你是否滿意物業的服務？調查者設計了一個隨機化裝置，其中裝有大小、形狀和質量完全相同的白球和紅球，每個被調查者隨機從裝置中摸到紅球和白球的可能性相同，其中摸到白球的業主回答第一個問題，摸到紅球的業主回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題別人并不知道，因此被調查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案.已知某小區80名業主參加了問卷，且有47名業主回答了“是”，由此估計本小區對物業服務滿意的百分比大約為（ ）
A.85%B.75%C.63.5%D.67.5%
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