Question

【題目】動點到點的距離與到直線的距離的比值為．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與點的軌跡交于兩點，，設點，到直線的距離分別為，，當時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設的坐標為，由題意可得等式，整理可得動點的軌跡方程；（2）由題意，可知直線的斜率為0時，不符合題意，當直線的斜率不為0時，則設直線的方程為：，將的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出，，進而求出，可求出的值，進而求出直線的方程．

解：（1）設的坐標為，由題意可得，

整理可得：，

所以動點的軌跡的方程為：；

（2）當直線的斜率為0時，則直線為，

可得，，

則由題意，，則；

當直線的斜率不為0時，則設直線的方程為：，

設，，，，

聯立直線與橢圓的方程：，

整理可得，

則，，

所以，到的距離之差為：

，

由題意可得，整理可得：，

解得：，即，

所以直線的方程為：或.