Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數的圖象在點處的切線的斜率為1，問：在什么范圍取值時，對于任意的，函數在區間上總存在極值？

Answer 1

【答案】（1）當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；（2）.

【解析】

（1）利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數；②解（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），

（2）點處的切線的斜率為1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在區間上總不是單調函數可知：g′(1)＜0，g′(2)＜0，g′(3)＞0，于是可求m的范圍．

（1）由知：

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；

當時，函數的單調增區間是，單調減區間是；

（2）由得

，.

,

∵函數在區間上總存在極值，

∴有兩個不等實根且至少有一個在區間內

又∵函數是開口向上的二次函數，且，

由得，在上單調遞減，

所以；，

由，解得；

綜上得：所以當m在內取值時，對于任意，函數，在區間上總存在極值.