Question

方程x²+

2

x-1=0的解可視為函數y=x+

2

的圖象與函數y=

1

x

的圖象交點的橫坐標．若x⁴+ax-9=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對應的點(xi，

9

xi

)（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，則實數a的取值范圍是

（-∞，-24）∪（24，+∞）

．

Answer 1

分析：根據題意，x⁴+ax-9=0的各個實根可看做是函數y=x³+a的圖象與函數y=

9

x

的圖象的交點的橫坐標，由于交點要在直線y=x的同側，可先計算函數y=

9

x

的圖象與y=x的交點為A（3，3），B（-3，-3），再將函數y=x³縱向平移|a|，數形結合發現只需函數y=x³+a的圖象與y=x的交點分布在A的外側或B的外側，故計算函數y=x³+a的圖象過點A或B時a的值即可的a的范圍

解答：解：如圖x⁴+ax-9=0的各個實根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）
可看做是函數y=x³+a的圖象與函數y=

9

x

的圖象的交點C，D的橫坐標
∵函數y=

9

x

的圖象與y=x的交點為A（3，3），B（-3，-3），
函數y=x³+a的圖象可看做是將函數y=x³縱向平移|a|的結果，其圖象為關于（0，a）對稱的增函數
當函數y=x³+a的圖象過點A（3，3）時，a=-24
當函數y=x³+a的圖象過點B（-3，-3）時，a=24
∴要使函數y=x³+a的圖象與函數y=

9

x

的圖象的交點C、D均在直線y=x的同側
只需使函數y=x³+a的圖象與y=x的交點橫坐標大于3或小于-3
∴數形結合可得a＜-24或a＞24
故答案為（-∞，-24）∪（24，+∞）

點評：本題考查了數形結合解決根的存在性及根的個數問題的方法，認真分析“動”函數與“定”函數的關系是解決本題的關鍵