Question

設數列{a_n}的首項a1=

3

2

，前n項和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求滿足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的值．

Answer 1

（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a1=

3

2

，所以a2=

3

4

．
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，
得

an+1

an

=

1

2

，
又

a2

a1

=

1

2

，所以數列{a_n}是以

3

2

為首項，
以

1

2

為公比的等比數列．
因此an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由題意與（Ⅰ），
得

18

17

＜

S2n

Sn

=1+(

1

2

)n＜

8

7

，
即

1

17

＜(

1

2

)n＜

1

7

因為

1

17

＜(

1

2

)3＜

1

7

，

1

17

＜(

1

2

)4＜

1

7

，
所以n的值為3，4．