Question

【題目】已知定義域為，對任意、都有，當時，，.

（1）求；

（2）證明：在上單調遞減；

（3）解不等式：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）先令求出的值，再令，可求出的值；

（2）構造函數，可得出，令可得出函數為奇函數，再令，可得出，結合函數的單調性的定義可得出函數在上為減函數，由此可得出函數在上單調遞減；

（3）將所求不等式化為，求出，然后由題意得出，由函數的單調性可得出，解出該不等式即可.

（1）令，可得，得出，

令，，則，即，解得；

（2）構造函數，

由可得，且.

設，則，，函數為奇函數，

當時，.

任取、，且，則，

，，

則函數在上是減函數，因此，函數在上也是減函數；

（3）由（2）可得，由，

可得，即，

，且，

，

由（2）知，函數在上是減函數，，即，

解得.

因此，不等式的解集為.