Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當m＞0時，若對于區間[1，2]上的任意兩個實數x1，x2，且x1＜x2，都有,成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）.

【解析】

（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可解決，（2）根據題意可得f（x2）-x22）＜f（x1）-x12，構造函數，再求導，再分離參數，利用導數求出函數的最值即可．

（1）f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0時，f′（x）＞0， 故m≥0時，f（x）在（0，+∞）遞增；

m＜0時，方程x2+mx+m=0的判別式為： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

故m＜0時，f（x）在（，+∞）遞增，在（0，）遞減；

（2）由（1）知，當m＞0時，函數f（x）在（0，+∞）遞增，

又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]遞增；

對任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0，

由題意得：f（x2）-f（x1）＜， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-，

令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 則F（x）在[1，2]遞減， 故F′（x）=，

當x∈[1，2]時，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，

令h（x）=，則h′（x）＞0， 故h（x）在[1，2]遞增，

故h（x）∈[，］， 故m≤．

實數的最大值為.