Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點

（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；

（II）時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數(shù)在上無極值點。

（III）證明見詳解.

【解析】

試題（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，先明確定義域（-1，+∞），再求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)在定義域上符號變化情況，從而可得函數(shù)單調(diào)性（2）當(dāng)時，由導(dǎo)函數(shù)=0解得兩個不同解，下面根據(jù)兩個根與-1的大小關(guān)系進(jìn)行討論：①當(dāng)b＜0時，只有大根在定義域內(nèi)，從而有唯一的極小值點；②當(dāng)時，兩根都在定義域內(nèi)，因此列表分析可得有一個極大值點和一個極小值點（3）利用函數(shù)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)：，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，從而給予證明．

試題解析：（1）當(dāng)，

所以函數(shù)定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增

（2） 當(dāng)時，令=0解得兩個不同解

①當(dāng)b＜0時，

此時在（-1，x2）減，在（x2，+∞）增，∴上有唯一的極小值點

②當(dāng)時， 在都大于0，在上小于0，

此時有一個極大值點和一個極小值點綜上可知，

時，有一個極大值點和一個極小值點

（2）b＜0，時，在（-1，+∞）上有唯一的極小值點

（3）當(dāng)b=-1時，

令上恒正

∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有

即當(dāng)x∈（0，+∞）時，有，

對任意正整數(shù)n，取