Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．

【解析】

（Ⅰ）根據題意，并借助，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設出直線的方程，并與橢圓方程聯立，求出點坐標，進而求出點坐標，再根據，求出直線的斜率，從而得解.

（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，

，

由，得，

又由，得，

所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點，所以，

根據題意可知，直線和直線的斜率均存在，

設直線的斜率為，則直線的方程為，即，

，消去，可得，解得或.

將代入，得，

所以，點的坐標為，

因為為線段的中點，點的坐標為，

所以點的坐標為，

由，得點的坐標為，

所以，直線的斜率為，

又因為，所以，

整理得，解得或.

所以，直線的方程為或.