Question

設，函數。

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求a的最大值；

（Ⅲ）若方程存在三個相異的實數根，求a的取值范圍。

Answer 1

（I）解：

，解得，或；令，解得.

從而的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.

                                                              …………3分

（II）解：

由.                                …………4分

由（I）得，函數在，在內單調遞減，

從而當時，函數取得最大值.             …………6分

因為對于任意，不等于恒成立，

故，即，

從而的最大值是.                                          …………8分

（III）解：

當變化時，變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

①由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；

②當時，解方程，得，即方程只有兩個相異的實數根；

③當時，解方程，得，即方程只有兩個相異的實數根.

如果方程存在三個相異的實數根，則  解得.

                                                            …………12分

事實上，當時，

，且，

所以方程在內各有一根.

綜上，若方程存在三個相異的實數根，則的取值范圍是.……14分