Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.

（i）求的值；

（ⅱ）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）根據橢圓的定義與幾何性質列方程組確定的值，從而得到橢圓的方程；（Ⅱ）（i）設，，由題意知，然后利用這兩點分別在兩上橢圓上確定的值; （ⅱ）設，利用方程組結合韋達定理求出弦長，選將的面積表示成關于的表達式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結合（i）的結果求出面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，則,又可得,

所以橢圓C的標準方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的方程為,

（i）設，，由題意知因為,

又，即,所以，即.

（ⅱ）設

將代入橢圓E的方程，

可得

由，可得①

則有

所以

因為直線與軸交點的坐標為

所以的面積

令,將代入橢圓C的方程可得

由，可得②

由①②可知

因此,故

當且僅當，即時取得最大值

由（i）知，面積為,所以面積的最大值為.