Question

【題目】

從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：

（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；

（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.

（i）利用該正態分布，求；

（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.

附：

若則，．

Answer 1

【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．

【解析】

試題（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差．若同一組的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標．中位數為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，

，故；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數，故期望．

試題（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為

，

．

（II）（i）由（I）知，服從正態分布，從而

．

（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區間的概率為，依題意知，所以．