Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，且．

（1）求證：平面；

（2）求和平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點使得平面平面，若存在，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)先利用平面幾何知識證明,利用平面平面的性質可證明平面；(2)作與底面垂直，以為坐標軸建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的一個法向量,利用向量的夾角公式，即可求和平面所成角的正弦值；(3)求出平面—個法向量，利用平面平面,法向量的數量積為0 ,即可得出結論.

（1）證明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．

由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．

又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD⊥平面ADE．

（2）解：建立空間直角坐標系D﹣xyz，

則D（0，0，0），，，，，，．

設=（x，y，z）是平面CDE的一個法向量，則令x=1，則=（1，1，﹣1）．

設直線BE與平面CDE所成的角為α，則sinα=

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．

（3）解：設，λ∈[0，1]．

，，

．則．

設=（x'，y'，z'）是平面BDF一個法向量，則

令x'=1，則=（1，0，﹣）．

若平面BDF⊥平面CDE，則=0，即，．

所以，在線段CE上存在一點F使得平面BDF⊥平面CDE．