Question

過(guò)點(diǎn)B（0，-b）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的弦，若弦長(zhǎng)的最大值是2b，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：討論過(guò)點(diǎn)B的弦斜率不存在和存在時(shí)的直線(xiàn)方程，求出交點(diǎn)和弦長(zhǎng)，令它不大于2b恒成立，化簡(jiǎn)整理，得到
2a²b²-a⁴≥0，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到范圍．

解答： 解：若過(guò)點(diǎn)B（0，-b）的弦的斜率不存在，則弦長(zhǎng)為2b，
若弦的斜率存在，則設(shè)弦的方程為：y=kx-b，代入橢圓方程，
得到，（b²+a²k²）x²-2ka²bx=0，解得，x=0或

2ka2b

b2+a2k2

，
即有交點(diǎn)為（0，-b），（

2ka2b

b2+a2k2

，

k2a2b-b3

b2+a2k2

）
則弦長(zhǎng)為：

4k2a4b2 (b2+a2k2)2 + 4k4a4b2 (b2+a2k2)2

=

2a2b k2+k4

b2+a2k2

≤2b恒成立，
即有a⁴k²+a⁴k⁴≤b⁴+a⁴k⁴+2a²b²k²，即有b⁴+k²（2a²b²-a⁴）≥0恒成立，
則2a²b²-a⁴≥0，即2b²≥a²即有2a²-2c²≥a²，a²≥2c²
即有e=

c

a

≤

2

2

，
則離心率的范圍為：（0，

2

2

]．
故答案為：（0，

2

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，求出交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．