Question

已知數列{a_n}滿足S_n=

n(a1+an)

2

，其中S_n是數列{a_n}的前n項和．
（1）證明：數列{a_n}是等差數列；
（2）若a₁=1，S₂=4，求數列{

an

2n-1

}的最大值項．

Answer 1

考點：等差數列的性質,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用數列{a_n}的前n項和公式，得到S_n-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，S_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

，再根據等差數列的定義即可證明
（2）由題意求出a_n=2n-1，設b_n=

an

2n-1

，求出b_n+1-b_n＞0，b_n+1-b_n＜0，故n=2時，數列{

an

2n-1

}有最大值項，問題得以解決

解答： 解（1）∵S_n=

n(a1+an)

2

，
∴S_n-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，S_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

∴a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

，
同理有a_n+1=S_n+1-S_n=

(n+1)(a1+an+1)

2

-

n(a1+an)

2

，
從而a_n+1-a_n═

(n+1)(a1+an+1)

2

+

(n-1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n），
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a₂-a₁
從而{a_n}是等差數列．
（2）∵a₁=1，S₂=4，
∴a₁+a₂=S₂=4，
∴a₂=3，
∴a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
設b_n=

an

2n-1

，
∴b_n=

an

2n-1

=

2n-1

2n-1

，
∴b_n+1-b_n=

2n+1

2n

-

2n-1

2n-1

=

1

2n-1

（

3

2

-n），
∵

1

2n-1

＞0，
∴當n=1時，b₂-b₁＞0，當n≥2時，b_n+1-b_n＜0
∴當n=2時，數列{

an

2n-1

}有最大值項，
∴b₂=

3

2

，
故

3

2

為數列{

an

2n-1

}的最大值項．

點評：本題考查了等差數列的證明，以及求數列的最大值項的問題，關鍵是求出數列的通項公式，屬于中檔題．