Question

已知函數f(x)=ax²+4(a為非零實數),設函數F(x)=
(1)若f(-2)=0,求F(x)的表達式.
(2)在(1)的條件下,解不等式1≤|F(x)|≤2.
(3)設mn<0,m+n>0,試判斷F(m)+F(n)能否大于0?

Answer 1

(1)F(x)=
(2){x|≤x≤或≤x≤或-≤x≤-或-≤x≤-}
(3)當a>0時,F(m)+F(n)能大于0,
當a<0時,F(m)+F(n)不能大于0.

(1)因為f(-2)=0,所以4a+4=0,得a=-1,
所以f(x)=-x²+4,
F(x)=
(2)因為|F(-x)|=|F(x)|,所以|F(x)|是偶函數,
故可以先求x>0的情況.
當x>0時,由|F(2)|=0,故當0<x≤2時,
解不等式1≤-x²+4≤2,得≤x≤;
x>2時,解不等式1≤x²-4≤2,得≤x≤;
綜合上述可知原不等式的解集為
{x|≤x≤或≤x≤或-≤x≤-或-≤x≤-}.
(3)因為f(x)=ax²+4,
所以F(x)=
因為mn<0,不妨設m>0,則n<0,又m+n>0,
所以m>-n>0,所以m²>n²,
所以F(m)+F(n)=am²+4-an²-4=a(m²-n²),
所以當a>0時,F(m)+F(n)能大于0,
當a<0時,F(m)+F(n)不能大于0.