Question

【題目】在三棱柱中平面平面，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) .

【解析】

（1）取的中點(diǎn),連接與交于點(diǎn)，連接，,結(jié)合已知條件得是平行四邊形，由平面平面的性質(zhì)定理得平面，且，得平面，即可得結(jié)論；

（2）由已知條件得 面，以 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）取的中點(diǎn),連接與交于點(diǎn)，連接，,

則 為的中點(diǎn)， ,且，所以是平行四邊形.

又是棱的中點(diǎn)，所以 .

側(cè)面底面，，且 ，，

所以平面 ，得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）連接，因?yàn)?/span>，所以是等邊三角形，設(shè).

故 面 ，由已知可得 .以 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則 ， ，

設(shè)平面的法向量為 則，

所以 ，取 ，所以

設(shè)平面的法向量為

,

則，所以，取 ，

故 ，因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，所以其余弦值為.