Question

（12分）直線與雙曲線相交于兩點，
(1)求的取值范圍
(2)當為何值時，以為直徑的圓過坐標原點.

Answer 1

(1) ；（2）。

試題分析：（1）利用直線與雙曲線交于不同的兩點，所以它們的方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程有兩個不同的實數根，在二次項系數不為零的情況下，判別式應大于零.
(2)以AB為直徑的圓過原點實質是,
從而借助直線方程和韋達定理得到關于a的方程求出a值.
(1) 由  可得：,依題意得
，
解之得：……6分
（2）、設兩點的坐標分別為，由題意可知，所以：，由(1)知，
所以：
所以：，即………12分.
點評：（1）直線與雙曲線的位置關系可以通過它們的方程聯立消去y得到關于x的方程的根的個數來判斷，進而可利用在保證二次項系數不為零的情況下，通過判別式來判斷.
（2）以AB為直徑的圓過原點，根據直徑所對的圓周角為直角可得.