Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線E的極坐標方程為，直線l的參數方程為(t為參數).點P為曲線E上的動點，點Q為線段OP的中點.

（1）求點Q的軌跡(曲線C)的直角坐標方程；

（2）若直線l交曲線C于A，B兩點，點恰好為線段AB的三等分點，求直線l的普通方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）設點Q，P的極坐標分別為，，由題意可得，由極坐標方程與直角坐標方程的轉化公式即可得解；

（2）直線參數方程代入曲線C的方程得，化簡后利用韋達定理結合題意即可得解.

（1）設點Q，P的極坐標分別為，，

則且，，

所以，

所以點Q軌跡的極坐標方程為，

故Q軌跡的直角坐標方程為；

（2）由（1）得曲線C的直角坐標方程為，

將直線參數方程代入曲線C的方程得，

即，，

由點恰好為線段AB的三等分點，不妨設方程兩根為，

所以，即，所以，

又與在一、三象限同號，二、四象限異號，

所以直線的斜率，又直線過，

故直線的普通方程為或.