Question

（2013•泗陽縣模擬）某生產旅游紀念品的工廠，擬在2010年度將進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2010年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為：“年平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．（利潤=收入-生產成本-促銷費用）
（1）求出x與t所滿足的關系式；
（2）請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費t萬元的函數；
（3）試問：當2010年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據題意，3-x與t+1成反比例，列出關系式，然后根據當t=0時，x=1，求出k的值
（2）通過x表示出年利潤y，并化簡，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數．
（3）根據已知代入（2）的函數，分別進行化簡即可求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．

解答：解  （1）設比例系數為k（k≠0）．由題知，有3-x=

k

t+1

．…（2分）
又t=0時，x=1．∴3-1=

k

0+1

，k=2．…（4分）∴x與t的關系是x=3-

2

t+1

(t≥0)．…（5分）
（2）依據題意，可知工廠生產x萬件紀念品的生產成本為（3+32x）萬元，促銷費用為t萬元，則每件紀念品的定價為：（

3+32x

x

•150%+

t

2x

）元/件．…（8分）
于是，y=x•(

3+32x

x

•150%+

t

2x

)-(3+32x)-t，進一步化簡，得y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)．…（11分）
因此，工廠2010年的年利潤y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)萬元．
（3）由（2）知，y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)

=50-( 32 t+1 + t+1 2 ) ≤50-2 32 t+1 • t+1 2 =42(當 t+1 2 = 32 t+1 ，即t=7時，等號成立)

…（15分）
所以，當2010年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．…（16分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調對知識的理解和熟練運用，屬于中檔題．