Question

（2013•泗陽(yáng)縣模擬）在等差數(shù)列{a_n}中，

a11

a10

  ＜-1，若它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，則使S_n取得最小正數(shù)的n=

19

．

Answer 1

分析：由題意可知，等差數(shù)列{a_n}中a₁＞0，公差d＜0，可將

a11

a10

  ＜-1轉(zhuǎn)化為：

a11+a10

a10

  ＜0，于是a₁₁＜0，a₁₀＞0，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S_n取得最小正數(shù)的n．

解答：解：∵等差數(shù)列{a_n}中，它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，

a11

a10

  ＜-1，
∴a₁＞0，公差d＜0，
又將

a11

a10

  ＜-1?

a11+a10

a10

  ＜0，
∴是a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0．

∴S_n=an²+bn中其對(duì)稱軸n=-

b

2a

=10，
又S₁₉=

(a1+a19)×19

2

=19a₁₀＞0，而S₂₀=

(a10+a11)×20

2

＜0，

1與19距離對(duì)稱軸n=10的距離相等，

∴S₁=S₁₉．
∴使S_n取得最小正數(shù)的n=1或n=19．
故答案為：1或19．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．