【題目】十九大提出，加快水污染防治，建設美麗中國.根據環保部門對某河流的每年污水排放量
（單位：噸）的歷史統計數據，得到如下頻率分布表：
將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設每年該河流的污水排放量相互獨立.
（1）求在未來3年里，至多1年污水排放量
的概率；（2）該河流的污水排放對沿河的經濟影響如下：當
時，沒有影響；當
時，經濟損失為10萬元；當
時，經濟損失為60萬元.為減少損失，現有三種應對方案：
方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費3.8萬元；
方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費2萬元；
方案三：不采取措施.
試比較上述三種文案，哪種方案好，并請說明理由.
【答案】(1) 
.
(2) 采取方案二最好，理由見解析.
【解析】分析：（Ⅰ）根據給出的頻率分布表可以得到每年排放量在
噸到
噸的概率為
，而三年中之多有一年排放量滿足題設要求的概率可由二項分布來計算.
（Ⅱ）考慮不同方案導致的經濟損失.方案一的經濟損失為
萬元；方案二中，排列量在噸到
噸的概率為
，相應的經濟損失為
萬，排放量不在此范圍內的概率為
，相應的經濟損失為防治費
萬，故經濟損失的數學期望為
，同理可以計算出方案三的經濟損失的數學期望為
萬，故方案二較好.
詳解：（Ⅰ）由題得
，
設在未來3年里，河流的污水排放量
的年數為
，則
.
設事件“在未來3年里，至多有一年污水排放量
”為事件
，則
.
∴在未來3年里，至多1年污水排放量的概率為.
（Ⅱ） 方案二好，理由如下：由題得
，
.
用
分別表示方案一、方案二、方案三的經濟損失.則
萬元.
的分布列為：
.
的分布列為：
.
∴三種方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二最好.
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【題目】設命題
對任意實數
，不等式
恒成立；命題
方程
表示焦點在
軸上的雙曲線．
（1）若命題
為真命題，求實數
的取值范圍；
（2）若命題：“
”為真命題，且“
”為假命題，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列{
}的前n項和為
，且滿足2＝
＋m（m∈R）．
（Ⅰ）求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{
}滿足
，求數列{}的前n項和
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)法一：由前n項和與數列通項公式的關系可得數列的通項公式為
；
法二：由題意可得
，則
，據此可得數列的通項公式為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，裂項求和可得
.
(Ⅰ)法一：
由
得
，
當
時，
，即，
又
，當
時符合上式，所以通項公式為.
法二：
由得
從而有
，
所以等比數列公比
，首項
，因此通項公式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，
，
.
【點睛】
本題主要考查數列前n項和與通項公式的關系，裂項求和的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
【題型】解答題
【結束】
18
【題目】四棱錐S－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD為正三角形．
（Ⅰ）點M為棱AB上一點，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實數λ的值；
（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，得到關于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導數研究其單調性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當
時， 
， 
單調遞減，且
；
當
時， 
， 
單調遞增；且
，
所以
在
上當單調遞減，在
上單調遞增，且
，
故
，
故
.
【點睛】本題考查利用函數的切線求參數的方法，以及利用導數證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
， 
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標方程；
（2）在曲線
上取兩點
， 
與原點
構成
，且滿足
，求面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.
（I）求張同學至少取到1道乙類題的概率；
（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是
，答對每道乙類題的概率都是
，且各題答對與否相互獨立.用
表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一同學在電腦中打出若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規律繼續下去，得到一系列的圈，那么在前2012個圈中的●的個數是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（其中α為參數），曲線C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；
（2）若射線θ=
（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，求|AB|．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題：①命題“若
，則
”的逆否命題為假命題：
②命題“若
，則
”的否命題是“若
，則
”；
③若“
”為真命題，“
”為假命題，則
為真命題，
為假命題；
④函數
有極值的充要條件是
或
.
其中正確的個數有（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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