Question

【題目】已知函數f（x）= 為偶函數
（1）求實數a的值；
系；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ，判斷λ與E的
（3）當x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，若函數f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求實數m，n值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數 為偶函數．

∴f（﹣x）=f（x）

即 =

∴2（a+1）x=0，

∵x為非零實數，

∴a+1=0，即a=﹣1

（2）解：由（1）得

∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }

而 = = = =

∴λ∈E

（3）解：∵ ＞0恒成立

∴ 在 上為增函數

又∵函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，

∴f（ ）=1﹣m2=2﹣3m，且f（ ）=1﹣n2=2﹣3n，

又∵ ，m＞0，n＞0

∴m＞n＞0

解得m= ，n=

【解析】（1）根據函數 為偶函數f（﹣x）=f（x），構造關于a的方程組，可得a值；（2）由（1）中函數f（x）的解析式，將x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用對數的運算性質求出λ，進而根據元素與集合的關系可得答案（3）求出函數f（x）的導函數，判斷函數的單調性，進而根據函數f（x）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，x∈ ，m＞0，n＞0構造關于m，n的方程組，進而得到m，n的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．