Question

（本小題滿分12分）
已知F1、F2分別是雙曲線x2-y2＝1的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y＝kx+b  (b>0)與圓O相切，并與雙曲線相交于A、B兩點.
（1）根據條件求出b和k滿足的關系式；
（2）向量在向量方向的投影是p，當(×)p2＝1時，求直線l的方程；
（3）當(×)p2=m且滿足2≤m≤4時，求DAOB面積的取值范圍.

Answer 1

（1）b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)
（2）y=±x+
（3）[3]

解：（1）b和k滿足的關系式為b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)  …………3分
（2）設A(x1,y1) B(x2,y2)，則由消去y
得(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，其中k2¹1        …………4分
∴×="x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=" + + 2(k2+1)
由于向量方向上的投影是p
∴p2=cos2<,>=              …………6分
∴(×)×p2= + +2=1Þk=±
∵b2=" 2(k2+1) " (k¹±1,b>0)， 故b=，經檢驗適合D＞0
∴直線l的方程為y=±x+             …………8分
（3）類似于（Ⅱ）可得+ +2=m
∴k2="1+" ， b2="4+" 根據弦長公式
得 …………10分
則SDAOB= |AB|×=
而mÎ[2,4]，∴DAOB的面積的取值范圍是[3] …………12分