Question

已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD=時，求直線CD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（2m，m），代入圓方程，解得m，進而可知點P的坐標．
（2）設直線CD的斜率為k，由P的坐標表示出直線CD的解析式，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線CD的距離d，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出直線CD的方程．
解答：解：（1）設P（2m，m），由題可知：MP==2，即（2m）²+（m-2）²=4，
解得：m=0或m=，
則P的坐標為（0，0）或（，）；
（2）設直線CD的斜率為k，由P（2，1），得到直線CD的解析式為y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，
∵圓的半徑r=1，CD=，
∴圓心到直線CD的距離d==，即=，
解得：k=-或k=-1，
則直線CD的解析式為x+7y-9=0或x+y-3=0．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：銳角三角函數定義，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及直線的點斜式方程，是一道綜合性較強的試題．