Question

【題目】(2017·太原市模擬題)已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，a＝2bcosB，b≠c.

(1)證明：A＝2B；

(2)若a2＋c2＝b2＋2acsinC，求A.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由，及，可得，根據正弦函數的性質結合三角形內角和定理，即可證明成立；（2）由，根據余弦定理得，由此可得或，再根據正弦、余弦函數的性質，可求得.

試題解析：(1)∵a＝2bcosB，且，∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B，

∵0<A<π，0<B<π，∴sinA＝sin2B>0，∴0<2B<π，

∴A＝2B或A＋2B＝π.

若A＋2B＝π，則B＝C，b＝c，這與“b≠c”矛盾，∴A＋2B≠π，

∴A＝2B.

(2)∵a2＋c2＝b2＋2acsinC，∴＝sinC，

由余弦定理得cosB＝sinC，

∵0<B<π，0<C<π，∴C＝－B或C＝＋B.

①當C＝－B時，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得A＝，B＝C＝，這與“b≠c”矛看，∴A≠；

②當C＝＋B時，由A＝2B且A＋B＋C＝A＋2B＋＝2A＋＝π，得A＝，B＝，C＝，

∴A＝.