Question

【題目】設為實數，設函數，設

．

（1）求的取值范圍，并把表示為的函數；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若存在使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）取值范圍是，；（2）；

（3） 。

【解析】

分析：（1）根據解析式，得出函數的定義域，將式子兩邊平方，結合二次函數的值域，可得的范圍，進而得到；

（2）由恒成立，即有，注意到直線是拋物線的對稱軸，分類討論，得到函數的單調性，即可求得最小值，進而得到實數的取值范圍.

（3）存在使得成立，即，即有且在成立，運用函數的單調性求得右邊函數的最值，再由存在性問題的解法即可得到的范圍.

詳解：（1），

要使有意義，必須且，即，

∴，①

∴的取值范圍是

由①得，

∴，；

（2）由恒成立，即有，

注意到直線是拋物線的對稱軸，

分以下幾種情況討論：

①當即時，在上為遞增函數，

即有時，取得最小值，且為；

②當即時，的最小值為；

③當即時，在上為遞減函數，

即有時，取得最小值，且為．

則或或，

解得：或或，

則有；

（3）存在使得成立，即為

，

即有且在成立，

令，

可以得到在遞減，在遞增，

即有的最小值為，最大值為

即有且

則實數的取值范圍是．