Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由兩角和的正弦公式化簡解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，從而由正弦函數的性質可求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）由于f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

，從而根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，即單調增區間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

∴函數y=sin2x（x∈R）的圖象向左平移

π

12

個單位后，得到y=sin[2（x+

π

12

）]圖象，再向上平移

1

2

個單位即可得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的圖象．

點評：本題主要考查了三角函數的周期性及其求法，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎題．