Question

已知S_n=C

1 n

a₁+C

2 n

a₂+…+C

n n

a_n，n∈N^*．
（1）若S_n=n•2^n-1（n∈N），是否存在等差數(shù)列{a_n}對一切自然數(shù)n滿足上述等式？
（2）若數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠±1），首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

（n∈N^*），求證：{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ通過倒序相加法得到結(jié)論；
（2）求出S_n=

(1+q)n

q

，再利用b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

，求出b_n+1，即可證明{b_n}是等比數(shù)列．

解答： （1）解：a_n=n（n∈N^*）．
下面證明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
設(shè)S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
有S_n=0C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ
又S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+0•C_n⁰，
兩式相加2S_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
故S_n=n•2^n-1，n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ；
（2）證明：∵數(shù)列{a_n}是公比為q（q≠±1），首項為1的等比數(shù)列，∴a_k=q^k-1，
∴S_n=

(1+q)n

q

，
∵b₁+b₂+…+b_n=

Sn

2n

，
∴b_n+1=

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n

=

1

q

[（

1+q

2

）ⁿ⁺¹-（

1+q

2

）ⁿ]=

q-1

2q

•（

1+q

2

）ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

1+q

2

，
∴{b_n}是等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的證明，難點在于對組合數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，屬于難題．