Question

已知橢圓的離心率為,短軸端點(diǎn)分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，判斷以線段為直徑的圓是否過點(diǎn)，并說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)不在以線段為直徑的圓上．

試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知橢圓的離心率為,短軸端點(diǎn)分別為，可設(shè)橢圓方程為，由，可得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由于,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，可設(shè)則，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則，即，即，因此可寫出直線的方程為，令，得，寫出向量的坐標(biāo)，看是否等于０，即可判斷出．
（1）由已知可設(shè)橢圓的方程為：             1分
由，可得，                              3分
解得,                           4分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                           5分
（2）法一：設(shè)則                              6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045953285691.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以直線的方程為，                   7分
令，得，所以.                         8分
所以                          9分
所以，                     10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045954345701.png" style="vertical-align:middle;" />，代入得                11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045954377502.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.                12分
所以，                              13分
所以點(diǎn)不在以線段為直徑的圓上.                    14分
法二：設(shè)直線的方程為，則.          6分
由化簡(jiǎn)得到，
所以，所以，                               8分
所以，
所以，所以                               9分
所以                                     10分
所以，                                  12分
所以，                                                               13分
所以點(diǎn)不在以線段為直徑的圓上.                                      14分