Question

已知橢圓中心在原點一個焦點為F₁（0．-2

2

）橢圓上的點到點F₁的最短距離3-2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于A、B，且線段AB恰好被直線x=-

1

2

平分，若存在，求出直線l的傾斜角α的取值范圍；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由焦點坐標可得c，再由橢圓上的點到點F₁的最短距離為a-c，求出a，再由a，b，c的關系，解得b，進而得到橢圓方程；
（2）假設存在直線l，設出方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合根的判別式，即可得到結論．

解答： 解：（1）橢圓中心在原點，一個焦點為F₁（0．-2

2

），則c=2

2

，
橢圓上的點到點F₁的最短距離3-2

2

，即有a-c=3-2

2

，則有a=3，
b²=a²-c²=1，
故橢圓方程為：

y2

9

+x2=1；
（2）假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦AB被x=-

1

2

平分，
∴直線l的斜率存在．
設直線l：y=kx+m，則
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

，消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
∵l與橢圓交于不同的兩點A，B，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2km

9+k2

，
∴

x1+x2

2

=-

km

9+k2

=-

1

2

，∴m=

k2+9

2k

②
把②代入①式中得

(k2+9)2

4k2

-（k²+9）＜0，
∴k＞

3

或k＜-

3

，
∴則存在直線l，且直線l傾斜角α∈（

π

3

，

π

2

）∪（

π

2

，

2π

3

）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．