Question

已知橢圓C：

x2

9

+

y2

8

=1的左、右兩個焦點分別為F₁，F₂，過F₁作一直線交橢圓C于A，B兩點．求△ABF₂面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓C：

x2

9

+

y2

8

=1，可得左、右兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）．設直線l的方程為my=x+1．與橢圓方程聯立消去x可得根與系數的關系，利用△ABF₂面積S=

1

2

|F1F2||y1-y2|可得關于m的表達式，再利用導數研究其單調性即可得出．

解答： 解：由橢圓C：

x2

9

+

y2

8

=1，可得a²=9，b²=8，c=

a2-b2

=1．
∴左、右兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
設直線l的方程為my=x+1．
聯立

my=x+1 x2 9 + y2 8 =1

，化為（9+8m²）y²-16my-64=0．
△＞0，
∴y₁+y₂=

16m

9+8m2

，y₁y₂=

-64

9+8m2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 16m 9+8m2 )2+ 256 9+8m2

=48

m2+1 (9+8m2)2

．
∴△ABF₂面積S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

×2×48

m2+1 (9+8m2)2

=48

1 64(m2+1)+ 1 1+m2 +16

，
令f（m）=64(m2+1)+

1

1+m2

，1+m²=t≥1．
g（t）=64t+

1

t

，
∵g′(t)=64-

1

t2

＞0，
∴函數g（t）在[1，+∞）上單調遞增，
∴當t=1時，g（t）取得最小值65．
即m=0時，f（m）取得最小值65．
∴△ABF₂面積S取得最大值48×

1 65+16

=

16

3

．
即當AB⊥x軸時，△ABF₂面積S取得最大值

16

3

．

點評：本題考查了焦點弦與三角形的面積最值問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系，考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．