Question

（04年廣東卷）（12分）

設函數，其中常數為整數

(I)當為何值時，

(II)定理：若函數在上連續，且與異號，則至少存在一點，使得

試用上述定理證明：當整數時，方程在內有兩個實根

Answer 1

解析：（I）函數f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續，且

當x∈(-m,1-m)時,f ^’（x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f ^’（x）>0,f(x)為增函數,f(x)>f(1-m)

根據函數極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數m≤1時，f(x) ≥1-m≥0

(II)證明：由（I）知，當整數m>1時，f(1-m)=1-m<0,

函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續減函數.

由所給定理知，存在唯一的

而當整數m>1時，

類似地，當整數m>1時，函數f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續增函數且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的

故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。