Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，AA₁=

6

，D、E分別是AA₁、B₁C₁的中點，
（Ⅰ）求證：面AA₁E⊥面BCD；
（Ⅱ）求直線A₁B₁與平面BCD所成的角．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明面AA₁E⊥面BCD，只需證明BC⊥面AA₁E；
（Ⅱ）面AFEA₁∩面BCD=DF，過A作AO⊥DF于點O，則AO⊥面BCD于O，連接BO，則∠ABO等于直線A₁B₁與平面BCD所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是B₁C₁的中點，
∴A₁E⊥BC，A₁A⊥BC，
∵A₁E∩A₁A=A₁，
∴BC⊥面AA₁E，
∵BC?面BCD，
∴可得面AA₁E⊥面BCD；
（Ⅱ）解：面AFEA₁∩面BCD=DF，過A作AO⊥DF于點O，則AO⊥面BCD于O，連接BO，
∴∠ABO等于直線A₁B₁與平面BCD所成的角，
∵AD=

6

2

，AF=

3

，
∴DF=

3 2

2

，
∴AO=

AD•AF

DF

=1，
∵AB=2，
∴∠ABO=30°，
∴直線A₁B₁與平面BCD所成的角為30°．

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，正確做出線面角是關鍵．