Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，S_n為其前n項(xiàng)和．
（1）求S_n的最小值，指出S_n取最小時(shí)的n值
（2）數(shù)列b_n=

3

an+66

，求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₉=-36，a₁₇=-12，從而求出Sn=-60n+

n(n-1)

2

×3，利用配方法能求出n=20或n=21時(shí)，S_n最小值為S₂₀=S₂₁=-630．
（2）bn=

3

an+66

=

1

n+1

，b_nb_n+1=

1

n+1

-

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，
得a₉=-36，a₁₇=-12，
∴d=

a17-a9

17-9

=3．
首項(xiàng)a₁=a₉-8d=-60，a_n=3n-63．…（2分）
Sn=-60n+

n(n-1)

2

×3
=

3

2

(n-

41

2

)2-

3

2

×

412

2

，n∈N^*，…（4分）
∴n=20或n=21時(shí)，S_n最小，最小值為S₂₀=S₂₁=-630．…（6分）
（2）bn=

3

an+66

=

1

n+1

，
b_nb_n+1=

1

n+1

-

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（10分）
設(shè)數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和為T_n．
則Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．